Question

定義：若存在常數k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k（x₁-x₂|成立，則稱函數f（x）在定義域D上滿足利普希茨條件．對于函數f（x）=

x

（x≥1）滿足利普希茨條件，則常數k的最小值應是（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：首先根據函數 f(x)=

x

(x≥1)滿足利普希茨條件，得到k滿足不等式k≥

x1 - x2

x1- x2|

=

1

x1 + x2

；然后由x₁，x₂∈[1，+∞），得

1

x1 + x2

的取值范圍，而k只需大于等于 

1

x1 + x2

的最大值即可．

解答：解：由已知中中利普希茨條件的定義
若函數f（x）=

x

（x≥1）滿足利普希茨條件，
所以存在常數k，使得對定義域[1，+∞）內的任意兩個x₁，x₂（x₁≠x₂），均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立，
 不妨設x₁＞x₂，則k≥

x1 - x2

x1-x2

=

1

x1 + x2

．
 而0＜

1

x1 + x2

＜

1

2

，所以k的最小值為

1

2

．
故選C

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，在能力上主要考查對新信息的理解力；及分離參數利用不等式求最值的方法．