Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系.曲線C₁的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）；射線C₂的極坐標(biāo)方程為：,且射線C₂與曲線C₁的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

(I )求曲線C₁的普通方程；

(II)設(shè)A、B為曲線C₁與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，M為曲線C₁上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若直線AM與MB分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn)，求證|OP|.|OQ|為定值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) . (Ⅱ) 見(jiàn)解析

【解析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)知識(shí)消參即可求得曲線的普通方程；（Ⅱ）先設(shè)出坐標(biāo)，然后利用斜率公式求解，即可證明

(Ⅰ)曲線的普通方程為，射線的直角坐標(biāo)方程為，…3分

可知它們的交點(diǎn)為，代入曲線的普通方程可求得.

所以曲線的普通方程為.………………5分

(Ⅱ) 為定值.由(Ⅰ)可知曲線為橢圓，不妨設(shè)為橢圓 的上頂點(diǎn)，

設(shè),，,因?yàn)橹本�與分別與軸交于、兩點(diǎn)，所以,,……7分

由斜率公式并計(jì)算得，,

所以.可得為定值.