Question

已知函數f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）=lgg（x），判斷函數g（x）在（O，1）內的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，解得x的范圍，可得函數的定義域．
（2）先判斷函數為偶函數，當a＞1時，利用函數的單調性的定義證明函數在（0，1）上是減函數，再由偶函數的性質可得函數在（-1，0）上是增函數．
同理可證，當0＜a＜1時，函數在（-1，0）上是減函數，函數在（0，1）上是增函數．
（3）由于f（x）=lgg（x）=lg（1-x²），利用函數的單調性的定義可證 g（x）=1-x²，用函數的單調性的定義可證函數g（x）在（0，1）內單調遞減．

解答：解：（1）由函數f（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）（a＞0，a≠1），可得

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
故函數的定義域為 （-1，1）．
（2）由于函數f（x）=lg（1-x²），且定義域關于原點對稱、滿足f（-x）=f（x），故函數為偶函數．
（3）由于f（x）=lgg（x）=lg（1-x²），∴g（x）=1-x²，顯然函數g（x）在（0，1）內單調遞減．
證明：設x₂＞x₁＞0，則 x22＞x12＞0，故 0＜1-x22＜1-x12，故（1-x22）＜（1-x12），
即g（x₂）＜g（x₁），故函數g（x）在（0，1）上是減函數．

點評：本題主要考查求函數的定義域的方法，函數的單調性的定義和證明，屬于基礎題．