Question

(1)如圖2-28,已知直線AB過圓心O,交⊙O于A、B,直線AF交⊙O于F(不與B重合),直線l交⊙O于C、D,交AB于E,且與AF垂直,垂足為G,連結AC、AD.

求證:①∠BAD=∠CAG;

②AC·AD=AE·AF.

(2)在問題(1)中,當直線l向上平行移動,與⊙O相切時,其他條件不變.

①請你畫出變化后的圖形,并對照圖2-28標記字母;②問題(1)中的兩個結論是否成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.

圖2-28

Answer 1

(1)證明:①連結BD,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°.∴∠AGC=∠ADB.

又∵ACDB是⊙O內接四邊形,

∴∠ACG=∠B.

∴∠BAD=∠CAG.

②連結CF.

∵∠BAD=∠CAG,∠EAG=∠FAB,

∴∠DAE=∠FAC.

又∵∠ADE=∠F,∴△ADE∽△AFC.

∴=.

∴AC·AD=AE·AF.

(2)解析:①圖2-29為變化后的圖形.

圖2-29

②兩個結論都成立,證明如下.

(ⅰ)連結BC,

∵AB是直徑,

∴∠ACB=90°.

∴∠ACB=∠AGC=90°.

∵GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC.

∴∠BAC=∠CAG,即∠BAD=∠CAG.

(ⅱ)連結CF,

∵∠CAG=∠BAC,∠GCF=∠GAC,

∴∠GCF=∠CAE.

∠ACF=∠ACG-∠GCF,∠E=∠ACG-∠CAE,

∴∠ACF=∠E.

∴△ACF∽△AEC.

∴=.∴AC²=AE·AF,

即AC·AD=AE·AF.