Question

已知函數f（x）=2x²-3x+1，g（x）=

msinxcosx

sinx+cosx-1

．
（1）問a取何值時，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有兩解；
（2）若對任意的x₁∈（

1

2

，1），總存在x∈R，使f（x₁）=g（x）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有兩解?2sin²x-3sinx+1=a-sinx，2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解，令t=sinx，對2t²-2t+1=a在[-1，1]上的解的情況分類討論即可求得a的取值范圍；
（2）依題意，可求得f（x₁）的值域是[-

1

8

，0），令μ=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），再對g（x）=m（t）=

m(t+1)

2

（-

2

≤μ≤

2

，μ≠1）中m的范圍分m=0、m＞0與m＜0討論，利用f（x₁）的值域是g（x）值域的子集即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有兩解，即2sin²x-3sinx+1=a-sinx，2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解．
令t=sinx，即2t²-2t+1=a在[-1，1]上的解的情況如下：
①當t=-1時，x有唯一解x=

3π

2

；
②當t=1時，x有唯一解x=

π

2

；
③當△=0時，a=

1

2

，t=

1

2

，x=

π

6

或

5π

6

…3
④令f（t）=2t²-2t+1-a，
當f（1）•f（-1）＜0即（5-a）（1-a）＜0，即a∈（1，5）時有兩解…5
綜上，a的取值范圍是a∈（1，5）或a=

1

2

…6
（2）∵x₁∈（

1

2

，1），
∴f（x₁）的值域是[-

1

8

，0），
對于g（x）=

msinxcosx

sinx+cosx-1

，令μ=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
則g（x）=m（t）=

m(t+1)

2

（-

2

≤μ≤

2

，μ≠1）…7
當m=0時，顯然不滿足題意，
當m＞0時g（x）的值域為[

m(1- 2 )

2

，m）∪（m，

m(1+ 2 )

2

]，
當m＜0時g（x）的值域為[

m(1+ 2 )

2

，m）∪（m，

m(1- 2 )

2

]，…9
依題意知，f（x₁）的值域是g（x）值域的子集，
∴當m＞0時，只需

m(1- 2 )

2

≤-

1

8

，解得m≥

2 +1

4

…10
當m＜0時，只需m＜-

1

8

…11
綜上，實數m的取值范圍是（-∞，-

1

8

）∪[

2 +1

4

，+∞）…12

點評：（1）主要考查了以三角函數為載體轉化為二次函數在閉區間上的最值問題，突出分類討論思想的應用；
（2）考查了三角函數的值域的求解及分類討論思想的應用體現了化歸與轉化思想的應用，方程與函數的思想的應用，屬于難題．