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已知m∈R，函數f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（Ⅰ）若m=-1，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）沒有零點，求實數m的取值范圍．

分析：（I）先求函數的導函數，然后研究導函數的符號，從而確定函數的極值點，代入函數解析式即可求出極值；
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0，根據函數f（x）沒有零點，可得△=m²-4m＜0，從而可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得f'（x）=（x+2）（x-1）e^x，
令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的關系列表如下：

由表可得，f（x）在x=-2取到極大值f（-2）=

，f（x）在x=-1取到極小值f（1）=-e．…（8分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0．…（9分）
因為函數f（x）沒有零點，所以△=m²-4m＜0，…（11分）
所以0＜m＜4．…（12分）

點評：本題以函數為載體，考查利用導數研究函數的單調性，利用函數研究函數的極值，其中根據已知函數，求出函數的導函數是解答此類問題的關鍵．

練習冊系列答案

數理報系列答案

相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知m∈R，函數f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若函數f（x）沒有零點，求實數m的取值范圍；
（2）若函數f（x）存在極大值，并記為g（m），求g（m）的表達式；
（3）當m=0時，求證：f（x）≥x²+x³．

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•大連一模）已知m∈R，函數f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）當m=2時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）有兩極值點a，b（a＜b），（ⅰ）求m的取值范圍；（ⅱ）求證：-e＜f（a）＜-2．

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•大連一模）已知m∈R，函數f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）當m=2時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求m的取值范圍．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知m∈R，函數f（x）=mx-

m-1

-lnx，g(x)=

+lnx
（I）求g（x）的極小值；
（Ⅱ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

ln2

ln3

ln4

+…+

lnn

＜

2(n+1)

(n∈N*)．

同步練習冊答案