Question

南充市某商場在經營某種商品的80天內發現：其銷售量和價格均是時間x的函數．其中銷售量滿足f （x）=x+40（0＜x≤80，x∈N₊），在前40天內價格為g₁（x）=，（0＜x≤40，x∈N₊），在后40天內價格為g₂（x）=（40＜x≤80，x∈N₊）．求這種商品哪天的銷售額最大，并求最大值．

Answer 1

【答案】分析：先分兩段分別寫出銷售額隨時間變化的函數，再利用二次函數配方法分別求兩段上的最大值，最后取兩段中較大的最大值作為整個函數的最大值即可
解答：解：依題意，商品價格為分段函數g（x）=，而銷售量滿足f （x）=x+40（0＜x≤80，x∈N₊），
∴前40天的銷售額為y=（）（x+40）=-（x+40）（x-80）=-（x-20）²+450≤450，（0＜x≤40，x∈N₊）（當且僅當x=20時取等號）
后40天的銷售額為y=（）（x+40）=（x-120）（x-80）=（x-100）²-50＜（40-100）²-50=400
∴這種商品在第20天銷售額最大為450元
點評：本題主要考查了將應用問題轉化為數學問題的能力，利用二次函數的圖象和性質求函數最值的方法，分段函數最值的求法，實現應用問題向數學問題的轉化是解決本題的關鍵