Question

【題目】已知函數f(x)＝ax2－ln x，a∈R.

(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．

(2)討論f(x)的單調性．

(3)是否存在a，使得方程f(x)＝2有兩個不等的實數根？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)對函數求導得到f′(1)＝0，f(1)＝，進而得到切線方程是一條平行于x軸的直線；（2）對函數求導，討論導函數的正負進而得到單調性；（3）由(2)可知，當a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)內單調遞減，方程f(x)＝2不可能有兩個不等的實數根；當a>0時，才有可能，結合上一問得到的函數的單調性，使得函數的極小值小于0即可.

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(1)當a＝1時，f′(x)＝x－，∴f′(1)＝0，f(1)＝，

∴曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝.

(2)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ax－＝ (x>0)．

①當a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)內單調遞減．

②當a>0時，令f′(x)＝0，解得x＝，

當x∈時，f′(x)＜0；當x∈時，f′(x)>0.

故函數f(x)在內單調遞減，在內單調遞增．

(3)存在a∈(0，e3)，使得方程f(x)＝2有兩個不等的實數根．

理由如下：

由(2)可知，當a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)內單調遞減，

方程f(x)＝2不可能有兩個不等的實數根；

當a>0時，函數f(x)在內單調遞減，在內單調遞增，

使得方程f(x)＝2有兩個不等的實數根，

等價于函數f(x)的極小值f<2，即f＝＋ln a<2，解得0＜a＜e3，

∴a的取值范圍是(0，e3)．