Question

(本小題滿分16分)
定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．
已知函數(shù)；．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍．

Answer 1

解：(1) 當(dāng)時， 
因為在上遞減，所以，即在的值域為
故不存在常數(shù)，使成立
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)．  
(2) 由題意知，在上恒成立．
，   
∴ 在上恒成立
∴ 
設(shè)，，，由得 t≥1，
設(shè)，

所以在上遞減，在上遞增，
在上的最大值為，在上的最小值為 
所以實數(shù)a的取值范圍為
(3) ，
∵ m > 0 ，     
∴ 在上遞減，∴     即 
①當(dāng)，即時，，此時，
②當(dāng)，即時，， 此時，  
綜上所述，當(dāng)時，的取值范圍是；
當(dāng)時，的取值范圍是

略