Question

一個圓環(huán)直徑為2

2

m，通過鐵絲BC，CA₁，CA₂，CA₃（A₁，A₂，A₃是圓上三等分點）懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2m，如圖所示．設(shè)BC長為x（m），問當(dāng)x取多長時，鐵絲總長y有最小值，并求此最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意C，A₁，A₂，A₃四點構(gòu)成一個正三棱錐，然后利用側(cè)棱的長度求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值．

解答：解：由題意C，A₁，A₂，A₃四點構(gòu)成一個正三棱錐，
CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側(cè)棱．
三棱錐的側(cè)棱CA1=

(2-x)2+2

；
于是有y=x+3

(2-x)2+2

．（0＜x＜2）
對y求導(dǎo)得y′=1-

3(2-x)

(2-x)2+2

．
令y'=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，
解得x=

3

2

或x=

5

2

（舍）．
當(dāng)x∈(0，

3

2

)時，y'＜0，
當(dāng)x∈(

3

2

，2)時，y'＞0．
故當(dāng)x=

3

2

時，即BC=1.5m時，y取得最小值為6m．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過對實際問題的分析，抽象出數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性并求解，屬于基礎(chǔ)題．