Question

【題目】已知函數（），且是它的極值點．

（1）求的值；

（2）求在上的最大值；

（3）設，證明：對任意， 都有．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）因為是的一個極值點，所以,解得的值；

（2）由（1）知， ，討論區間端點與導函數零點的關系明確的單調性，從而求得在上的最大值；

（3）設， ，其中， ，分別研究二者的最值即可.

試題解析：

（1） ，

因為是的一個極值點，所以，

所以．

（2）由（1）知， ，

易知在上遞增，在上遞減，

當，即時， 在上遞增， ；

當，即時， 在上遞減， ；

當，即時， ．

（3），設， ，其中， ，

則，設，則，可知在上是增函數，

所以，即在上是增函數，

所以．

又，由，得；由，得，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，從而．

所以，對任意， ， ．