Question

若數列{a_n}的通項公式an=

1

(n+1)2

(n∈N+)，記f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），試通過計算f（1），f（2），f（3）的值，推測出f（n）=

 

．

Answer 1

分析：本題考查的主要知識點是：歸納推理與類比推理，根據題目中已知的數列{a_n}的通項公式an=

1

(n+1)2

(n∈N+)，及f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），我們易得f（1），f（2），f（3）的值，觀察f（1），f（2），f（3）的值的變化規律，不難得到f（n）的表達式．

解答：解：∵an=

1

(n+1)2

(n∈N+)
∴a1=

1

(1+1)2

=

1

22

，a2=

1

(2+1)2

=

1

32

，a3=

1

(3+1)2

=

1

42

又∵f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
∴f(1)=1-a1=1-

1

22

=(1-

1

2

)(1+

1

2

)=

1

2

×

3

2

，
f(2)=(1-a1)(1-a2)=(1-

1

22

)(1-

1

32

)=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×

3

4

×

5

4

…
由此歸納推理：
∴f(n)=(1-

1

22

)(1-

1

32

)[1-

1

(n+1)2

]=(1-

1

2

)(1+

1

2

)(1-

1

3

)(1+

1

3

)(1-

1

n+1

)(1+

1

n+1

)
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

××

n

n+1

×

n+2

n+1

=

n+2

2n+2

故答案為：

n+2

2n+2

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．