Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長是1的正方形，側棱PD⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）記MN=x，V（x）表示四棱錐P-ABCD的體積，求V（x）的表達式（不必討論x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點E，連接ME、NE，由三角形中位定理，可得ME∥AD，NE∥PD，進而由面面平行的第二判定定理可得平面MNE∥平面PAD，進而由面面平行的性質得到MN∥平面PAD；
（2）由PD⊥平面ABCD，結合（1）中NE∥PD，可得NE⊥平面ABCD，進而NE⊥ME，由勾股定理可用x表示出NE，即

1

2

PD，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：證明：（1）取CD的中點E，連接ME、NE，
由M、N分別是AB、PC的中點
則ME∥AD，NE∥PD…（2分），
因為ME∩NE=E，ME，NE?平面MNE，AD，PD?平面PAD
所以平面MNE∥平面PAD…（4分），
又∵MN?平面MNE，
所以MN∥平面PAD…（6分）．
解：（2）由（1）中NE∥PD，
又∵PD⊥平面ABCD，
所以NE⊥平面ABCD…（8分），
又∵ME?平面ABCD，
∴NE⊥ME…（9分），
∴MN²=ME²+NE²，
所以NE=

MN2-ME2

=

x2-1

…（10分），
由（1）知PD=2NE=2

x2-1

…（11分），
所以V(x)=

1

3

Sh=

1

3

×SABCD×PD…（13分），
=

2

3

x2-1

…（14分）．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是熟練掌握線線平行，面面平行，線面平行之間的相互轉化，（2）的關鍵是分別用x表示出棱錐的高和底面積．