Question

（本小題滿分14分）
設，點在軸的負半軸上，點在軸上，且．
（1）當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；
（2）若，是否存在垂直軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）（解法一），故為的中點．  -------1分
設，由點在軸的負半軸上，則  -------2分
又，        -------4分
又，         -------6分
所以，點的軌跡的方程為     -------7分
（解法二），故為的中點．  -------1分
設，由點在軸的負半軸上，則  -------2分
又由，故，可得  -------4分
由，則有，化簡得：   -------6分
所以，點的軌跡的方程為                -------7分
（2）設的中點為，垂直于軸的直線方程為，
以為直徑的圓交于兩點，的中點為．
，
  -------9分

            -------12分
所以，令，則對任意滿足條件的，
都有（與無關），-------13分即為定值．  -------14分

略