Question

【題目】已知拋物線的焦點為,直線與軸交點為,與的交點為,且．

（Ⅰ）求的方程;

（Ⅱ）過的直線與相交于兩點,若的垂直平分線與相交于兩點,且四點在同一圓上,求的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設點Q的坐標為（，4），把點Q的坐標代入拋物線C的方程，求得，根據求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）設l的方程為 x=my+1 （m≠0），代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程

試題解析：（Ⅰ）設點,,則由拋物線定義知,

所以得,即的方程為;

（Ⅱ）如右圖所示,設,

中點為,,則由

得,其中恒成立,

所以,

,

易求得,又,

所以,,即,

代入中得,,其中恒成立,

故,,

又易求得的中點,

故,而由共圓知,

,即,代入得

,同時約去且化簡得

,又,所以,即,也即直線或．