Question

已知函數.其中.
（1）若曲線y＝f(x)與y=g(x)在x＝1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;
（2）若f(x)≤g(x)－1對任意x>0恒成立,求實數的值;
（3）當<0時，對于函數h(x)=f(x)－g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點A、B連線的斜率為,若,求的取值范圍.

Answer 1

（1） ；（2）2； （3）

試題分析：（1）因為曲線y＝f(x)與y=g(x)在x＝1處的切線相互平行，所以分別對這兩個函數求導，可得導函數在x=1處的斜率相等，即可求出的值以及求出兩條切線方程.再根據平行間的距離公式求出兩切線的距離.
（2） 由f(x)≤g(x)－1對任意x>0恒成立，所以構造一個新的函數，在x>0時求出函數的最值符合條件即可得到的范圍.
（3）根據（2）所得的結論當當<0時,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是減函數，所以根據可以得到函數與變量的關系式，從而構造一個新的函數，得到的范圍.
試題解析：（1）,依題意得: ="2;"
曲線y=f(x)在x=1處的切線為2x－y－2=0,
曲線y=g(x)在x=1處的切線方程為2x－y－1=0.兩直線間的距離為
（2）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,則
當≤0時, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)單調遞減,又h(1)=0,故0<x<1時,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,與題設矛盾.
當>0時,
當,當時,
所以h(x)在上是增函數,在上是減函數,
∴h(x)≤
因為h(1)＝0,又當≠2時,≠1,與不符.所以＝2. 
（3）當<0時,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是減函數,
不妨設0<x₁≤x₂,則|h(x₁)－h(x₂)|＝h(x₁)－h(x₂),|x₁－x₂|＝x₂－x₁,
∴|h(x₁)－h(x₂)|≥|x₁－x₂|
等價于h(x₁)－h(x₂)≥x₂－x₁,即h(x₁)＋x₁≥h(x₂)＋x₂,令H(x)＝h(x)＋x＝lnx－x²＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是減函數,
∵ (x>0),∴－2x²＋x＋≤0在x>0時恒成立,∴≤(2x²－x)_min又x>0時, (2x²－x)_min=
∴a≤－,又a<0,∴a的取值范圍是.