Question

【題目】已知函數f（x）=loga ，（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）是否存在實數m使得f（x+2）+f（m﹣x）為常數？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）=loga 為奇函數，下面證明：

解 ＞0可得定義域為{x|x＜﹣5或x＞5}，關于原點對稱，

f（﹣x）=loga =﹣loga =﹣f（x），

∴函數f（x）為奇函數

（2）

解：假設存在這樣的m，則f（x+2）+f（m﹣x）

=loga =loga ，

∴ 為常數，設為k，

則（k﹣1）x2+（m﹣2）（1﹣k）x﹣3（m﹣5）﹣7k（m+5）=0對定義域內的x恒成立

∴ ，解得

∴存在這樣的m=﹣2

【解析】（1）f（x）=loga 為奇函數，求函數的定義域并利用奇函數的定義證明即可；（2）假設存在這樣的m，則f（x+2）+f（m﹣x）=loga ，即 為常數，設為k，整理由多項式系數相等可得m和k的方程組，解方程組可得．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇函數的相關知識點，需要掌握一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數才能正確解答此題．