Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（Ⅰ）求證：_|MN|=  

（Ⅱ）是否存在，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區間內總存在個實數，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設、兩點的橫坐標分別為、，  ，

∴切線的方程為：，

又切線過點， 有，即，  （1）

同理，由切線也過點，得．（2）

由（1）、（2），可得是方程的兩根，  （ * ）

，

把（ * ）式代入,得,

因此，函數的表達式為．

（Ⅱ）當點、與共線時，，

＝，即＝，

化簡，得，

              ，．   （3）

       把（*）式代入（3），解得．    存在，使得點、與三點共線，且 ．

       （Ⅲ）解法：易知在區間上為增函數，，

       則．

依題意，不等式對一切的正整數恒成立，

，

即對一切的正整數恒成立．

， ，

．  由于為正整數，．

又當時，存在，，對所有的滿足條件．

因此，的最大值為．

解法：依題意，當區間的長度最小時，得到的最大值，即是所求值．

，長度最小的區間為，

當時，與解法相同分析，得，解得．