Question

已知圓的方程（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），從0，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數中選出3個不同的數，分別作圓心的橫坐標、縱坐標和圓的半徑．問：
（1）可以作多少個不同的圓？
（2）經過原點的圓有多少個？
（3）圓心在直線上x+y-10=0的圓有多少個？

Answer 1

分析：（1）可分兩步完成：第一步，先選r，因r＞0，可得r的情況，第二步，選a、b，由排列數公式可得其情況數目，進而由分類加法原理計算可得答案；
（2）圓（x-a）²+（y-b）²=r²經過原點，a、b、r滿足a²+b²=r²，分析可得滿足條件的a、b、r的數目，再考慮a、b的順序，由分步計數原理，計算可得答案；
（3）圓心在直線x+y-10=0上，即滿足a+b=10，則圓心（a，b）有三組：0，10；3，7；4，6；再考慮考慮a、b的順序與r可選的情況，由分類加法原理計算可得答案．

解答：解：（1）可分兩步完成：第一步，先選r，因r＞0，則r有A₈¹種選法，第二步再選a，b，在剩余8個數中任取2個，有A₈²種選法，
所以由分步計數原理可得有A₈¹．A₈²=448個不同的圓，，
（2）圓（x-a）²+（y-b）²=r²經過原點，a、b、r滿足a²+b²=r²，
滿足該條件的a，b，r共有3，4，5與6，8，10兩組，考慮a、b的順序，有A₂²種情況，
所以符合題意的圓有2A₂²=4，
（3）圓心在直線x+y-10=0上，即滿足a+b=10，則滿足條件的a、b有三組：0，10；3，7；4，6．
當a、b取10、0時，r有7種情況，
當a、b取3、7；4、6時，r不可取0，有6種情況，
考慮a、b的順序，有A₂²種情況，
所以滿足題意的圓共有A₂²．A₇¹+2A₂²A₆¹=38個

點評：本題考查排列、組合的運用，關鍵是掌握圓的標準方程，如滿足滿足a²+b²=r²時，圓（x-a）²+（y-b）²=r²經過原點．