Question

【題目】動點與定點的距離和該動點到直線的距離的比是常數．

（1）求動點軌跡方程；

（2）已知點，問在軸上是否存在一點，使得過點的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點，都有．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，坐標為

【解析】

(1)根據題意列出點滿足的關系式,再化簡方程即可.

(2) 設,再討論當⊥軸時可得,即若存在定點,則定點坐標為.再討論斜率存在時,設的方程為,聯立橢圓方程,求出韋達定理,證明即可.

（1）由題意,知,即.

解得曲線的方程為.

（2）法一：設,易知,

①若⊥軸時,由,此時,滿足橢圓方程,

∴,解得（舍）,可知若存在定點,則定點坐標為.

②當直線斜率存在時,設斜率為k,

設的方程為,聯立橢圓方程,

消去得,∴.

,∴

,

綜合①②可知,存在點,使得.

（2）（解法二）設,易知,設.

若不垂直軸,的斜率為,則直線的方程為,

,,

,

即是①,

由,得,

代入①式得

化簡,

整理得②,

為使與斜率無關,由②式得出,解得（舍）,

這說明與軸不垂直時,是過的弦,恒有,

若⊥軸時,：,是等腰三角形,,

,,,,

可見是等腰直角三角形,,

綜上,過的弦總有.