Question

10．有 4名男生和2名女生排成一排，下列各種情況分別有多少種排法？
（Ⅰ） 男生甲不站排頭和排尾．
（Ⅱ） 兩名女生必須相鄰．
（Ⅲ） 甲、乙、丙三名同學兩兩不相鄰．
（Ⅳ） 甲不站排頭，乙不站排尾．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲不站排頭也不站排尾，甲要站在除去排頭和排尾的四個位置，余下的五個位置使五個元素全排列，根據分步計數原理得到結果．
（Ⅱ） 兩名女生必須相鄰，利用捆綁法；
（Ⅲ）甲、乙、丙不相鄰，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三個人，有A₃³種結果，再在三個元素形成的四個空中排列3個元素，共有A₄³，根據分步計數原理得到結果．
（Ⅳ） 甲不站排頭，乙不站排尾．利用間接法．

解答 解：（Ⅰ）∵甲不站排頭也不站排尾，
∴甲要站在除去排頭和排尾的四個位置，
余下的五個位置使五個元素全排列，
根據分步計數原理知共有A₄¹A₅⁵=480種；
（Ⅱ） 兩名女生必須相鄰，利用捆綁法，有A₂²A₅⁵=240種；
（Ⅲ）∵甲、乙、丙不相鄰，
∴可以采用甲，乙和丙插空法，
首先排列除去甲，乙和丙之外的三個人，有A₃³種結果，
再在三個元素形成的四個空中排列3個元素，共有A₄³，
根據分步計數原理知共有A₃³A₄³=144種．
（Ⅳ） 甲不站排頭，乙不站排尾．利用間接法，可得有A₆⁶-2A₅⁵+A₄⁴=504種．

點評 站隊問題是排列組合中的典型問題，解題時要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最后要用分步計數原理得到結果．