Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：的離心率為，短軸長是2．

（1）求a，b的值；
（2）設橢圓C的下頂點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，這兩條直線與橢圓C的另一個交點分別為M，N．設l₁的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，當時，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝2，b＝1（2）.

試題分析：（1）兩個未知數，兩個獨立條件.由 a²＝b²＋c²，解得a＝2，b＝1．正確解答本題需注意短軸長為而不是（2）本題關鍵是用l₁的斜率為k表示出△DMN的面積，因為為直線l₁與橢圓C的交點，所以由直線l₁方程與橢圓C的方程聯立方程組得M坐標為，從而有．由于N與M相似性，可用代k直接得，所以△DMN的面積S＝，到此只需將S代入，并化簡可得k的取值范圍為．
試題解析：
（1）設橢圓C的半焦距為c，則由題意得，又a²＝b²＋c²，
解得a＝2，b＝1．                                   4分
（2）由（1）知，橢圓C的方程為
所以橢圓C與y軸負半軸交點為D(0，－1)．
因為l₁的斜率存在，所以設l₁的方程為y＝kx－1．
代入，得，
從而．  6分
用代k得
所以△DMN的面積S＝ 8分
則＝  
因為，即
整理得4k⁴－k²－14＜0，解得＜k²＜2
所以0＜k²＜2，即＜k＜0或0＜k＜．
從而k的取值范圍為．