Question

已知函數f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函數．
（1）求k的值；
（2）若函數y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b沒有交點，求b的取值范圍；
（3）設h(x)=log9(a•3x-

4

3

a)，若函數f（x）與h（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）因為y=f（x）為偶函數，所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx對于?x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9

9x+1

9x

-log9(9x+1)=-x恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒為零，所以k=-

1

2

．
（2）由題意知方程log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b即方程log₉（9^x+1）-x=b無解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數y=g（x）的圖象與直線y=b無交點．
因為g(x)=log9

9x+1

9x

=log9(1+

1

9x

)
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則0＜9x1＜9x2，從而

1

9x1

＞

1

9x2

．
于是log9(1+

1

9x1

)＞log9(1+

1

9x2

)，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是單調減函數．
因為1+

1

9x

＞1，所以g(x)=log9(1+

1

9x

)＞0．所以b的取值范圍是（-∞，0]．
（3）由題意知方程3x+

1

3x

=a•3x-

4

3

a有且只有一個實數根．
令3^x=t＞0，則關于t的方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0（記為（*））有且只有一個正根．
若a=1，則t=-

3

4

，不合，舍去；
若a≠1，則方程（*）的兩根異號或有兩相等正根．
由△=0⇒a=

3

4

或-3；但a=

3

4

⇒t=-

1

2

，不合，舍去；而a=-3⇒t=

1

2

；
方程（*）的兩根異號?（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
綜上所述，實數a的取值范圍{-3}∪（1，+∞）．