Question

三棱錐P-ABC中，側面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，
(Ⅰ)求證AB⊥BC；
(Ⅱ)如果AB=BC=2，求側面PBC與側面PAC所成二面角的大小。

Answer 1

(Ⅰ)證明：取AC中點O，連結PO、BO， ∵PA=PC，∴PO⊥AC， 又∵側面PAC⊥底面ABC， ∴PO⊥底面ABC， 又PA=PB=PC， ∴AO=BO=CO， ∴△ABC為直角三角形， ∴AB⊥BC。 (Ⅱ)解：作OD⊥PC于D，連結BD， ∵AB=BC=2，AB⊥BC，AO=CO， ∴BO⊥AC，側面PAC⊥底面ABC， ∴BO⊥側面PAC，∴BD⊥PC， ∴∠BDO為側面PBC與側面PAC所成二面角的平面角， ∵AB=BC=2，AB⊥BC，AO=CO， ∴BO=CO=，PO=， ∴， ∴tg∠BDO=， ∴∠BDO=， 即側面PBC與側面PAC所成二面角為。