Question

已知點列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^?）順次為拋物線y=x²上的點，過點B_n（n，b_n）作拋物線y=x²的切線交x軸于點A_n（a_n，0），點C_n（c_n，0）在x軸上，且點A_n，B_n，C_n構成以點B_n為頂點的等腰三角形．
（1）求數列{a_n}，{c_n}的通項公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，若有，請求出n；若沒有，請說明理由．
（3）設數列{}的前n項和為S_n，求證：≤S_n＜．

Answer 1

（1）解：∵y= x²，∴y′=，y′|_x=n=，
∴點B_n（n，b_n）作拋物線y=x2的切線方程為：y-=（x-n），
令y=0，則x=，即a_n=；（3分）
∵點A_n，B_n，C_n構成以點B_n為頂點的等腰三角形，
∴a_n+c_n=2n，∴c_n=2n-a_n= （5分）
（2）解：若等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，則|A_nC_n|=2b_n?
∴n=，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂為直角三角形 （9分）
（3）證明：∵===（-）（11分）
∴S_n=（1-+-+…+-）=（1-）＜
又1-隨n的增大而增大，
∴當n=1時，S_n的最小值為：（1-）=，
∴≤S_n＜（14分）
分析：（1）利用導數，求得點B_n（n，b_n）作拋物線y=x2的切線方程，令y=0，可得a_n=，根據點A_n，B_n，C_n構成以點B_n為頂點的等腰三角形，可得a_n+c_n=2n，由此可求數列{a_n}，{c_n}的通項公式；
（2）若等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，則|A_nC_n|=2b_n，由此可知存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂為直角三角形；
（3）===（-），從而可求S_n=（1-），進而可知≤S_n＜．
點評：本題考查導數的幾何意義，考查裂項法求數列的和，考查不等式的證明，考查數列與解析幾何的綜合，屬于中檔題．