Question

設函數
（1）求函數y=T（sin（x））和y=sin（T（x））的解析式；
（2）是否存在非負實數a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當x∈[0，]時，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立．
②對于給定的正整數m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m個不同的實數根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數列{x_n}（1≤n≤2^m），求數列{x_n}所有2^m項的和．

Answer 1

解：（1）由，得：或（k∈Z），
由，得：（k∈Z）．
所以，函數=，

函數=，
所以，．
（2），
．
當a=0時，則有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
當a＞0時，當且僅當a=1時有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
綜上可知當a=0或a=1時，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①當時，對于任意的正整數i∈N^*，1≤i≤n-1，
都有，
故有==2ⁿx．
②由①可知當時，有，根據命題的結論可得，
當時，有，
故有=-2ⁿx+2．
因此同理歸納得到，當（i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）時，
=．
對于給定的正整數m，當時，
解方程T_m（x）=kx得，，
要使方程T_m（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2^m個不同的實數根，
對于任意i∈N，0≤i≤2^m-1，必須恒成立，
解得，若將這些根從小到大排列組成數列{x_n}，
由此可得 （n∈N^*，1≤i≤2^m）．
故數列{x_n}所有2^m項的和為：

=
=．
分析：（1）由和，解出x的范圍，然后直接把代入分段函數解析式即可，
求y=sin（T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分別寫出函數y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出當a=0時aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0時，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1時此等式成立；
（3）①當x∈[0，]時，x∈[0，），則在函數T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=T_n（x）的解析式；
②根據題目給出的條件：當x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立，
求出當（i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）時的T_n（x）的解析式，再由方程T_m（x）=kx求得當時，，那么，數列{x_n}所有2^m項的和可利用分組進行求和．
點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了函數恒成立問題，考查了數列的函數特性及數列的分組求和，特別是（3）中的②涉及到復雜條件下的函數解析式的求解及方程根的問題，需要學生有清晰的頭腦，考查了學生進行復雜運算的能力，此題是難度較大的題目．