Question

【題目】對(duì)數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為的二階差分?jǐn)?shù)列，其中.

（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式，試判斷，是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？

（2）數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值構(gòu)成的集合；

（3）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，對(duì)滿足，的任意正整數(shù)、、，都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1），是等差數(shù)列，見解析（2）；（3）2

【解析】

（1）根據(jù)題干中的定義，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷.

（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，結(jié)合題干可得，從而可得，且；分類討論、或即可求出.

（3）根據(jù)題中對(duì)數(shù)列的定義可得，從而可得，即是等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列可得，代入等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，由，可得，當(dāng)時(shí)，不等式都成立；當(dāng)時(shí)，令，，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，作差，由，，即可求解.

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

則，又，所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.

因?yàn)?/span>，則是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列.

（2）因?yàn)閿?shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，所以.

又，

且對(duì)任意的，都存在，使得，

所以對(duì)任意的，都存在，使得，

即，因?yàn)?/span>，所以.

若，則，解得（舍）或，

即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有.

若，則，解得（舍）或，

即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有.

若，則，

故對(duì)任意的，不存在，使得.

綜上所述，所有可能的取值構(gòu)成的集合為；

（3）因?yàn)?/span>，所以，

則，所以是等差數(shù)列.

設(shè)的公差為，則.

若，則；

若，則當(dāng)時(shí)，，

與數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，故.

由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，

所以，

，

又，，

所以，

則當(dāng)時(shí)，不等式都成立.

另一方面，當(dāng)時(shí)，令，，

則，

，

則

，

因?yàn)?/span>，，

所以當(dāng)時(shí)，，即.不滿足任意性.

所以 .

綜上，的最大值為2.