Question

已知函數y=f（x）同時滿足：
（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）且f（-x）=f（x）恒成立；
（2）對任意正實數x₁，x₂，若x₁＜x₂有f（x₁）＞f（x₂），且f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
試寫出符合條件的函數f（x）的一個解析式

y=log₂|x|

．

Answer 1

分析：結合條件f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可判斷此函數定與對數函數有關，再結合奇偶性和單調性，確定此函數為自變量帶絕對值函數，即由對數函數經翻折變換得到的函數，寫出一個解析式即可

解答：解：性質（1）反映函數f（x）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上為偶函數，
性質（2）反映函數f（x）在（0，+∞）上為減函數，且能將積的運算轉化為運算的和
二者結合，滿足條件f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）的函數可以時對數函數，
還要滿足為在（-∞，0）上為增函數，在（0，+∞）上為減函數的偶函數
故此函數可以為 y=log₂|x|（底數不唯一）
故答案為 y=log₂|x|

點評：本題主要考查了抽象函數表達式的意義和應用，對數函數的圖象和性質，根據函數性質構造函數的能力，有一定的思維量