Question

某分公司經銷一種新中國成立60周年的紀念品，每件產品的成本為3元，并且每賣出一件產品需向總公司上交m元（m為常數，3≤m≤6）的管理費．設每件產品的日售價為x元（9≤x≤11），根據市場調查，日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例．已知每件成品的日售價為40元時，日銷售量為10件．
（1）求該分公司的日利潤L（x）元與每件產品的日售價x元的函數關系式； 
（2）當每件成品的日售價為多少元時，該分公司的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）日銷售量與e^x成反比例，利用每件成品的日售價為40元時，日銷售量為10件，求出比例系數，再結合利潤=收入-支出問題可以得到解決．
（2）求解函數的最值，導數是十分重要的工具，利用分段函數的性質進行求解．

解答：解：（1）設日銷售量為

k

e40

，則

k

e40

=10，∴k=10e⁴⁰．…（1分）
則日銷售量為

10e40

ex

．…（2分）
日售價為x元時，每件利潤為（x-3-m），
則日利潤L（x）=（x-3-m）

10e40

ex

．
=10e⁴⁰•

x-3-m

ex

                                      …6
（2）L′（x）=10e⁴⁰•

ex-(x-3-m)ex

(ex)2

=10e⁴⁰•

4+m-x

ex

              …（8分）
①當3≤m≤5時，7≤4+m≤9，當9＜x＜11時，L′（x）＜0
∴L（x）在（9，11）上是單調遞減函數．
∵當x=9時，L（x）取的最大值為10（6-m）e³¹．…（11分）
②當5＜m≤6時，9＜4+m≤10，令L′（x）=0，得x=m+4．
x∈（9，m+4）時，L′（x）＞0 L（x）在（9，m+4）上是單調遞增函數．
x∈（m+4，11）時，L′（x）＜0，L（x）在（m+4，11）上是單調遞減函數．
∵L（x）在[9，11]上連續，∴當x=m+4時，L（x）取的最大值為10e^36-m．…（14分）
由①②知L(x)=

10(6-m)e313≤m≤5 10e36-m5＜m≤6

…（16分）

點評：本題考查函數的性質和應用，考查函數模型的構建，考查利用導數求函數的最值，屬于中檔題．