Question

(本小題13分)已知函數f(x)＝－ (a>0，x>0)．
(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．

Answer 1

(1)證明：見解析；(2) a＝. 

本事主要是考查了函數的單調性和函數值域的求解的綜合運用。
（1）先分析函數的定義域內任意兩個變量，代入函數解析式中作差，然后變形定號，下結論。
（2）∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，那么可知又f(x)在[，2]上單調遞增，可知最大值和最小值在端點值取得求解得到參數a的值。
解：(1)證明：設x₂>x₁>0，則x₂－x₁>0，x₁x₂>0.
∵f(x₂)－f(x₁)＝(－)－(－)＝－
＝>0，
∴f(x₂)>f(x₁)，∴f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增的．………………6分
(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又f(x)在[，2]上單調遞增，∴f()＝，f(2)＝2，
易得a＝.                      ………………13分