Question

一束光線從點出發，經直線上一點反射后，恰好穿過點．（Ⅰ）求點關于直線的對稱點的坐標；

（Ⅱ）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；

（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于、兩點，點為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）的坐標為．

（Ⅱ）所求橢圓方程為．

（Ⅲ）最小值＝，此時點的坐標為 

解析:

（Ⅰ）設的坐標為，則且．

解得，  因此，點 的坐標為．

（Ⅱ），根據橢圓定義，

得，

，．    ∴所求橢圓方程為．

（Ⅲ），橢圓的準線方程為．

設點的坐標為,表示點到的距離，表示點到橢圓的右準線的距離．

則，．

， 令，則，

當，， ，．

 ∴ 在時取得最小值．

因此，最小值＝，此時點的坐標為-----------------14分