Question

如圖所示，有兩個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)盤（A）、（B），其中三個(gè)扇形區(qū)域的圓心角分別為60°、120°、180°．用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤玩游戲，規(guī)則是：依次隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤再隨機(jī)停下（指針固定不動(dòng)，當(dāng)指針恰好落在分界線時(shí)，則這次轉(zhuǎn)動(dòng)無效，重新開始）為一次游戲，記轉(zhuǎn)盤（A）指針?biāo)鶎?duì)的數(shù)為X轉(zhuǎn)盤（B）指針對(duì)的數(shù)為Y設(shè)X+Yξ，每次游戲得到的獎(jiǎng)勵(lì)分為ξ分．
（1）求X＜2且Y＞1時(shí)的概率
（2）某人玩12次游戲，求他平均可以得到多少獎(jiǎng)勵(lì)分？

Answer 1

分析：（1）由幾何概型知P（x=1）=

1

6

，P（x=2）=

1

3

，P（x=3）=

1

2

； P（y=1）=

1

3

，P（y=2）=

1

2

，P（y=3）=

1

6

．進(jìn)而得到P（x＜2）=P（x=1）=

1

6

，P（y＞1）=p（y=2）+P（y=3）=

2

3

，利用獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得：P（x＜2且y＞1）=P（x＜2）•P（y＞1）=

1

9

．
（2）ξ的取值范圍為2，3，4，6．利用事件的獨(dú)立性和互斥事件的概率計(jì)算公式可得P（ξ=2）=P（x=1）•P（y=1）；P（ξ=3）=P（x=1）•P（y=2）+P（x=2）•P（y=1）；P（ξ=4）=P（x=1）•P（y=3）+P（x=2）•P（y=2）+P（x=3）•P（y=1）；P（ξ=5）=P（x=2）P（y=3）+P（x=3）P（y=2）；P（ξ=6）=P（x=3）•P（y=3）．進(jìn)而得到分布列．利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出Eξ，所以，他玩12次平均可以得到的獎(jiǎng)勵(lì)分為12×Eξ．

解答：解：（1）由幾何概型知P（x=1）=

1

6

，P（x=2）=

1

3

，P（x=3）=

1

2

； P（y=1）=

1

3

，P（y=2）=

1

2

，P（y=3）=

1

6

．
則P（x＜2）=P（x=1）=

1

6

，P（y＞1）=p（y=2）+P（y=3）=

2

3

，
P（x＜2且y＞1）=P（x＜2）•P（y＞1）=

1

9

．
（2）ξ的取值范圍為2，3，4，6．
P（ξ=2）=P（x=1）•P（y=1）=

1

6

×

1

3

=

1

18

；
P（ξ=3）=P（x=1）•P（y=2）+P（x=2）•P（y=1）=

1

6

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

7

36

；
P（ξ=4）=P（x=1）•P（y=3）+P（x=2）•P（y=2）+P（x=3）•P（y=1）=

1

6

×

1

6

+

1

3

×

1

2

+

1

2

×

1

3

=

13

36

；
P（ξ=5）=P（x=2）P（y=3）+P（x=3）P（y=2）=

1

3

×

1

6

+

1

2

×

1

2

=

11

36

；
P（ξ=6）=P（x=3）•P（y=3）=

1

2

×

1

6

=

1

12

．
其分布為：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 18	7 36	13 36	11 36	1 12

他平均每次可得到的獎(jiǎng)勵(lì)分為
Eξ=2×

1

18

+3×

7

36

+4×

13

36

+5×

11

36

+6×

1

12

=

25

6

，
所以，他玩12次平均可以得到的獎(jiǎng)勵(lì)分為12×Eξ=50．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握幾何概型、獨(dú)立事件、互斥事件、分布列和數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．