Question

已知-

π

2

＜θ＜

π

2

，且sinθ+cosθ=a，其中a∈（0，1），則關于tanθ的值，在以下四個答案中，可能正確的是（　　）

• A、-3
• B、3或

  1

  3

• C、-

  1

  3

• D、-3或-

  1

  3

Answer 1

分析：由θ的范圍，得到cosθ大于0，把已知的等式兩邊平方，利用同角三角函數間的基本關系化簡后，由a的范圍得到2sinθcosθ的值大于0，進而得到sinθ的值小于0，又根據sinθ+cosθ=a，a大于0，得到cosθ＞-sinθ＞0，再利用不等式的基本性質及同角三角函數間的基本關系化簡，得到tanθ值的范圍，即可判斷出符合題意的tanθ值的可能值．

解答：解：由-

π

2

＜θ＜

π

2

，得到cosθ＞0，
所以把sinθ+cosθ=a兩邊平方得：
（sinθ+cosθ）²=a²，
即sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=a²，又a∈（0，1），
所以2sinθcosθ=a²-1＜0，所以sinθ＜0，
又sinθ+cosθ=a＞0，
所以cosθ＞-sinθ＞0，
則-1＜tanθ＜0．
故選C

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，要求學生掌握余弦函數的圖象與性質，不等式的基本性質，以及同角三角函數間的基本關系，解本題的思路是利用同角三角函數間的基本關系及不等式的基本性質求出tanθ的范圍．