Question

(12分)我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數” :
①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數;
②在函數的定義域內存在區間,使得函數在區間上的值域為.
⑴已知冪函數的圖像經過點,判斷是否是和諧函數?
⑵判斷函數是否是和諧函數?
⑶若函數是和諧函數,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）是和諧函數。（2）不是和諧函數。(3) .

解析試題分析：. (1)設，由，得，
在上是增函數，
令，得
故是和諧函數。                 ………………………4分
⑵易得為上的減函數，
① 若則，相減得與矛盾；
② 若則，與矛盾；
③ 若則，與矛盾。
故不是和諧函數。               ………………………………………8分
⑶在上是增函數，
由函數是和諧函數知, 函數在內存在區間,使得函數在區間上的值域為.

是方程在區間內的兩個不等實根
在區間內的兩個不等實根，
         ………………………12分
考點：函數的單調性；函數的值域；函數的綜合應用；一元二次方程根的分布問題。
點評：（1）此題以新定義為背景，來考查函數的綜合應用。考查了學生分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數學思想。（2）設一元二次方程（）的兩個實根為，，且。
① ，(兩個正根)；
② ，(兩個負根)；
③ (一個正根一個負根)。