Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(Ⅰ)求證：AB₁⊥A₁D；

(Ⅱ)求點C到平面A₁BD的距離；

Answer 1

解法一：(Ⅰ)取BC中點O，連結AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，

∴AO⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥BD.

連結B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分別為BC，CC₁的中點，∴B₁O⊥BD.

∴BD⊥平面AB₁O.∴BD⊥AB₁.(4分 )

又在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，又BD∩A₁B＝B，

∴AB₁⊥平面A₁BD.∴AB₁⊥A₁D.(6分)

(Ⅱ)△A₁BD中，BD＝A₁D＝，A₁B＝2，∴S△A₁BD＝，S_△BCD＝1.

在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距離為.(9分)

設點C到平面A₁BD的距離為d.

由VA₁－BCD＝VC－A₁BD得S_△BCD·＝S△A₁BD·d，(10分)

∴d＝＝.

∴點C到平面A₁BD的距離為.(12分)

解法二：(Ⅰ)取BC中點O，連結AO.

∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.

∵在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁.

取B₁C₁中點O₁，以O為原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A₁(0，2，)，A(0，0，)，B₁(1，2，0)，(4分)

∴＝(1，2，－)，＝(－1，－1，－)．

∵·＝－1－2＋3＝0，∴⊥.

∴AB₁⊥A₁D.(6分)

(Ⅱ)設平面A₁BD的法向量為n＝(x，y，z)．

＝(－1，－1，－)，＝(－2，1，0)．

∵n⊥，n⊥，

∴

∴∴

令x＝1得n＝(1，2，－)為平面A₁BD的一個法向量．(9分)

∵＝(－2，0，0)，

∴點C到平面A₁BD的距離d＝＝＝.(12分)