Question

已知如圖，圓C的圓心在拋物線x²=2py（p＞0）上運動，且圓C過A（0，p）點，若MN為圓C在x軸上截得的弦．
設AM=l₁，AN=l₂，求

l1

l2

+

l2

l1

的取值范圍．

Answer 1

分析：設∠MAN=θ，由題意知l1l2=

2p2

sinθ

，l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

1

tanθ

)．所以

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

4p2(1+ 1 tanθ )sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

2

sin(θ+45°)．由此可知當且僅當θ=45°時，原式有最大值2

2

，當且僅當θ=90°時，原式有最小值為2，從而

l1

l2

+

l2

l1

的取值范圍．

解答：解：設∠MAN=θ，
因為S△MAN=

1

2

l1•l2•sinθ=

1

2

OA•MN=p2，
所以l1l2=

2p2

sinθ

，因為l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4p²，
所以l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

1

tanθ

)．
所以

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

4p2(1+ 1 tanθ )sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

2

sin(θ+45°)．
因為0＜θ≤90⁰，所以當且僅當θ=45°時，原式有最大值2

2

，當且僅當θ=90°時，原式有最小值為2，從而

l1

l2

+

l2

l1

的取值范圍為[2，2

2

]．

點評：本題考查圓錐曲線的位置關系和應用，解題時要認真審題和仔細解答．