Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且PC．

（1）求證：PA⊥平面ABCD；

（2）求異面直線AC與PD所成角的余弦值；

（3）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

(1)先證PA⊥BC, PA⊥CD,再根據直線與平面垂直的判定定理可證結論;

(2)以為原點,以射線分別為軸建立空間直線坐標系,利用空間向量的坐標可求得結果;

(3)利用平面PDC和平面PDB的法向量的坐標,計算可得二面角B﹣PD﹣C的余弦值.

（1）證明：∵底面ABCD是邊長為1的正方形，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

又PB⊥BC，AB∩PB＝B，且都在平面PAB內，

∴BC⊥平面PAB，

又PA在平面PAB內，

∴PA⊥BC，

同理，由PD⊥DC，CD⊥AD，且PD∩AD＝D，都在平面PAD內，

∴CD⊥平面PAD，

又PA在平面PAD內，

∴PA⊥CD，

∵BC∩CD＝C，且都在平面ABCD內，

∴PA⊥平面ABCD；

（2）由（1）知，PA⊥平面ABCD，且，，建立如圖所示空間直角坐標系，

由題意可得，A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），D（1，0，0），B（0，1，0），

∴，

∴，

∴異面直線AC與PD所成角的余弦值為；

（3）由（2）知，，，

設平面PDC的一個法向量為，則，∴，

令x＝1，則z＝1，∴，

設平面PDB的一個法向量為，則，∴，

令a＝1，則b＝1，c＝1，

∴，

∴，即二面角B﹣PD﹣C的余弦值為．