Question

【題目】如圖，島、相距海里．上午9點整有一客輪在島的北偏西且距島 海里的處，沿直線方向勻速開往島，在島停留分鐘后前往市．上午測得客輪位于島的北偏西且距島 海里的處，此時小張從島乘坐速度為海里/小時的小艇沿直線方向前往島換乘客輪去市．

（Ⅰ）若，問小張能否乘上這班客輪？

（Ⅱ）現測得， ．已知速度為海里/小時()的小艇每小時的總費用為()元，若小張由島直接乘小艇去市，則至少需要多少費用？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）若小張9點半出發，則無法乘上這班客輪；（Ⅱ）若小張由島直接乘小艇去市，其費用至少需元.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，進而得客輪的航行速度，在中，由余弦定理得，分別求出客輪和小張到島所用的時間，比較即可；

（Ⅱ）根據條件求得，再由正弦定理得， ，求得，進而求得總費用為，利用基本不等式求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）如圖，根據題意得：

， ， ， ．

在中，由余弦定理得，

,

所以客輪的航行速度（海里/小時）．

因為，所以，

所以．

在中，由余弦定理得， ，

整理得： ，

解得或（不合舍去）．

所以客輪從處到島所用的時間小時，

小張到島所用的時間至少為小時．

由于，

所以若小張9點半出發，則無法乘上這班客輪.

（Ⅱ）在中， ， ,

所以為銳角， ， ．

所以

.

由正弦定理得， ,

所以,

所以小張由島直接乘小艇去城市的總費用為

()，

當且僅當，即時， （元）.

所以若小張由島直接乘小艇去市，其費用至少需元．