Question

①存在m∈R，使f（x）=（m-1）•x^m2-4m+3是冪函數；
②函數y=

1

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是減函數；
③函數=log₂x+x²-2在（1，2）內只有一個零點函數；
④定義域內任意兩個變量x₁，x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則f（x）在定義域內是增函數
其中正確的結論序號是

①③④

．

Answer 1

分析：對①，根據冪函數的定義判斷①是否正確；
對②，根據減函數的定義，舉反例驗證即可；
對③，利用函數零點的判定定理判斷函數的零點存在，再根據單調性判斷即可；
對④，根據導數的定義及導數的集合意義，判斷④是否正確．

解答：解：對①，當m=2時，f（x）=x^-1 是冪函數，①正確；
對②，取x₁=-2＜x₂=1，y₁=-1＜y₂=

1

2

，∴在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上不是減函數，②不正確；
對③，∵f（x）的零點是T（x）=x²+x-3的零點，T（1）=-1，T（2）=3，∵T（1）•T（2）＜0，∴函數在（1，2）內有零點；
又∵T（x）=x²+x-3在（1，2）單調遞增，∴在（1，2）內只有一個零點，∴③正確；
對④，根據定義域內任意兩個變量x₁，x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，∴f^′（x）＞0，∴f（x）是增函數，④正確．
答案是①③④

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查冪函數的定義、函數的單調性、函數的零點判定及導數的定義及幾何意義．