Question

（2013•寧德模擬）島A觀察站發現在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時10海里的速度向東南方向 航行（如圖所示），觀察站即刻通知在島A正南方向B處巡航的海監船前往檢查．接到 通知后，海監船測得可疑船只在其北偏東75°方向且相距10海里的C處，隨即以每小時10

3

海里的速度前往攔截．
（I）問：海監船接到通知時，距離島A多少海里？
（II）假設海監船在D處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時間．

Answer 1

分析：（I）在△ABC中，依題意，利用正弦定理即可求得AB；
（II）在△BCD中，利用余弦定理可求得航行的方向及時間；

解答：解：（I）依題意得∠BAC=45°，∠ABC=75°，BC=10，
∴∠ACB=60°，…2分
在△ABC中，由正弦定理得：

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠BAC

…3分
∴AB=

BCsin∠ACB

sin∠BAC

=

10sin60°

sin45°

=

10× 3 2

2 2

=5

6

．
答：海監船接到通知時，距離島A5

6

海里…5分
（II）設海監船航行時間為t小時，
則BD=10

3

t，CD=10t，…6分
又∵∠BCD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∴BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos120°，…7分
∴300t²=100+100t²-2×10×10t•（-

1

2

），
∴2t²+t-1=0，
解得t=1或t=-

1

2

（舍去）…9分
∴CD=10，
∴BC=CD，
∴∠CBD=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠ABD=75°+30°=105°，…11分
答：海監船的方位角105°航行，航行時間為1個小時…12分

點評：本題主要考查正、余弦定理，解三角形等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力以及應用意識，考查函數方程思想，屬于難題．