Question

已知動點P到直線x=2的距離等于P到圓x²-7x+y²+4=0的切線長，設點P的軌跡為曲線E；
（1）求曲線E的方程；
（2）是否存在一點Q（m，n），過點Q任作一直線與軌跡E交于M、N兩點，點  （，）都在以原點為圓心，定值r為半徑的圓上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），由題意可得，整理可得切線E的方程
（2）過點Q任作的直線方程可設為：為直線的傾斜角），代入曲線E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα），sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0，由韋達定理得，，若使得點  （，）在以原點為圓心，定值r為半徑的圓上，則有=為定值
解答：解：（1）設P（x，y），圓方程x²-7x+y²+4=0化為標準式：
則有
∴（x-2）²=x²-7x+y²+4，整理可得y²=3x
∴曲線E的方程為y²=3x．
（2）過點Q任作的直線方程可設為：為直線的傾斜角）
代入曲線E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα），sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0
由韋達定理得，，==═
令-12n與2n²+6m-9同時為0
得n=0，，此時為定值故存在．
點評：本題主要考查了點到直線的距離公式得應用，直線的參數方程的應用，直線與曲線相交的位置關系及方程思想的應用，解題要求具備一定得推理與運算得能力