Question

直線L的方程為x=-

p

2

，其中p＞0；橢圓E的中心為O′(2+

p

2

，0)，焦點在X軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個頂點為A(

p

2

，0)，問p在什么范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距離．

Answer 1

分析：根據到點A的距離等于該點到直線L的距離的點的軌跡是以A為焦點的拋物線，并且軌跡方程為y²=2px．利用橢圓的幾何性質得到橢圓的方程，又根據題意可得：拋物線與橢圓相交，進而得到相應的方程組有實數解，從而得出p的取值范圍．

解答：解：因為橢圓上有四個不同的點到點A的距離等于該點到直線L的距離相等，
所以由拋物線的定義知：這四個不同的點在是以A為焦點的拋物線，所以點P的方程為y²=2px．
又根據題意，橢圓的方程為：（x-2-

p

2

）²+4y²=4，
則聯立橢圓與拋物線的方程，消去y，
可得：x²-（4-7p）x+2p+

p2

4

=0，此方程必有正實數根，
所以△=（4-7p）²-4（2p+

p2

4

）≥0，且4-7p＞0，p＞0，
解得：0＜p＜

1

3

．
故p在（0，

1

3

）范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距離．

點評：本題考查拋物線定義及標準方程，以及直線與拋物線的位置關系，并且也考查橢圓的簡單性質，解題時要認真審題，仔細解答．