Question

（理科）△ABC中，已知，邊，設∠B=x，△ABC的周長為y．
（1）求函數y=f（x）的解析式，并寫出函數的定義域；
（2）求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）△ABC的內角和A+B+C=π，且，
∴．
由正弦定理，知，
即
所以；

（2）由（1）知，

=
=，
由正弦函數的圖象知，當時，有．
于是，，
所以，函數的值域是．
分析：（1）由A的度數及設出的B的值，利用三角形的內角和定理求出C的度數，根據C大于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數的定義域，再由BC=a的值，sinA，sinx，及表示出的sinC的值，利用正弦定理表示出b和c，然后三邊相加即可列出y關于x的函數解析式；
（2）把（1）得到的函數解析式利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，合并后，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由（1）求出的函數定義域，得出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的值域，進而得到函數f（x）的值域．
點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域及值域，第一問利用正弦定理建立了三角形的邊角關系，表示出b和c來解決問題，第二問利用三角函數的恒等變換把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本問的關鍵．