Question

已知函數f（x）=xlnx，g（x）=x²-6x+1．
（Ⅰ）求函數y=的單調遞增區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）試判斷方程lnx=（其中e=2.718…）是否有實數解？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導數的運算法則得到y^′，（x＞0），令y^′＞0，解出即可得到其單調遞增區間；
（II）利用導數的運算法則得到f^′（x），進而可得到其單調區間．分類討論：當時與當時的單調性，即可得到其最小值；
（III）方程lnx=（其中e=2.718…）?（x＞0）．令u（x）=xlnx，v（x）=-．（x＞0）．利用導數分別研究u（x）的最大值與v（x）的最小值，進行比較即可．
解答：解：（Ⅰ）函數y==4lnx+x²-6x+1，（x＞0），
∴=，
令y^′＞0，解得0＜x＜1或x＞2，
∴函數y=的單調遞增區間是（0，1）和（1，+∞）．
（II）f^′（x）=lnx+1，令f^′（x）=0，解得．
當時，f^′（x）＜0，函數f（x）在上單調遞減；當時，f^′（x）＞0，函數f（x）在上單調遞增．
①當時，時，函數f（x）單調遞減；，函數f（x）單調遞增，
因此當x=時，f（x）取得極小值，也即最小值，且．
②當時，f（x）在區間[t，t+2]內單調遞增，因此x=t時，函數f（x）取得最小值，且f（t）=tlnt．
（Ⅲ）方程lnx=（其中e=2.718…）?（x＞0）．
令u（x）=xlnx，v（x）=-．（x＞0）．
由（II）可知：u（x）在x=時取得極小值，也即最小值．
=，當0＜x＜1時，v^′（x）＞0，函數v（x）單調遞增；當1＜x時，v^′（x）＜0，函數v（x）單調遞減．
因此當x=1時，v（x）取得極大值，也即最大值v（1）=．
而當x=1時，u（1）=0=v（1），故方程lnx=（其中e=2.718…）無實數解．
點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、分類討論的思想方法是解題的關鍵．