Question

（2011•朝陽區二模）對于整數a，b，存在唯一一對整數q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特別地，當r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的個數），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“諧和集”．請寫出一個含有元素7的“諧和集”B₀和一個含有元素8的非“諧和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將2011除以91，便可求相應的商與余數；
（Ⅱ）先寫出一個含有元素7的“諧和集”B₀和一個含有元素8的非“諧和集”C，再證明：含7的任意集合A的有12個元素的子集為“和諧集”．

解答：解：（Ⅰ）因為2011=91q+r，所以2011=91×22+9．（2分）
又因為q∈A，所以q=22，r=9．（4分）
（Ⅱ）含有元素7的一個“和諧集”
B₀={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}．（5分）
含有元素8的一個非“和諧集”
C={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．（7分）
當m=8時，記M={7+i|i=1，2，…，16}，
N={2（7+i）|i=1，2，3，4}，
記P=C_MN，則card（P）=12．
顯然對任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．
故P是非“和諧集”，此時P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．
同理，當m=9，10，11，12時，存在含m的集合A的有12個元素的子集為非“和諧集”．
因此m≤7．（10分）
下面證明：含7的任意集合A的有12個元素的子集為“和諧集”．
設B={a₁，a₂，…，a₁₁，7}，
若1，14，21中之一為集合B的元素，顯然為“和諧集”．
現考慮1，14，21都不屬于集合B，構造集合B₁={2，4，8，16}，
B₂={3，6，12}，B₃={5，10，20}，B₄={9，18}，B₅={11，22}，
B′={13，15，17，19，23}．（12分）
以上B₁，B₂，B₃，B₄，B₅每個集合中的元素都是倍數關系．
考慮B'⊆B的情況，也即B′中5個元素全都是B的元素，
B中剩下6個元素必須從B₁，B₂，B₃，B₄，B₅這5個集合中選取6個元素，
那么至少有一個集合有兩個元素被選，即集合B中至少有兩個元素存在倍數關系．
綜上，含7的任意集合A的有12個元素的子集B為“和諧集”，即m的最大值為7．

點評：本題是新定義題，考查了子集與真子集，解答的關鍵是讀懂題意，巧妙運用，有一定的難度．