Question

已知A、B、C、D四個(gè)城市，它們各自有一個(gè)著名的旅游點(diǎn)，依次記為a，b，c，d，把A，B，C，D和a，b，c，d左、右兩列．現(xiàn)在一名旅游愛(ài)好者隨機(jī)用4條線把城市與旅游點(diǎn)全部連接起來(lái)，構(gòu)成“一一對(duì)應(yīng)”規(guī)定某城市與自身的旅游點(diǎn)相連稱(chēng)為“連對(duì)”否則稱(chēng)為“連錯(cuò)”，連對(duì)一條得2分，連錯(cuò)一條得0分．
（I）求該旅游愛(ài)好者得2分的概率；
（II）求所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）隨機(jī)用4條線把城市與旅游點(diǎn)全部連接起來(lái)的全排列為

A

4 4

，該旅游愛(ài)好者得2分有

C

1 4

×2種情形，最后根據(jù)古典概率的概率公式解之即可；
（II）ξ的可能取值為0，2，4，8，然后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（I）隨機(jī)用4條線把城市與旅游點(diǎn)全部連接起來(lái)的全排列為

A

4 4

，
該旅游愛(ài)好者得2分有

C

1 4

×2種情形
∴該愛(ài)好者得2分的概率為P=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

（II）答對(duì)題的個(gè)數(shù)為y，得分為ξ，ξ的可能取值為0，2，4，8
P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

3

8

，P（ξ=2）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

P（ξ=4）=

C 1 4 ×1

A 4 4

=

1

4

，P（ξ=8）=

1

A 4 4

=

1

24

ξ的分布列為

ξ	0	2	4	8
P	3 8	1 3	1 4	1 24

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

3

8

+2×

1

3

+4×

1

4

+8×

1

24

=2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，以及離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．