Question

（2012•藍山縣模擬）設函數f(x)=

1

3

ax3+bx+cx(a≠0)，已知a＜b＜c，且0≤

b

a

＜1，曲線y=f（x）在x=1處取極值．
（Ⅰ）如果函數f（x）的遞增區間為[s，t]，求|s-t|的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥k（k是與a，b，c無關的常數）時，恒有f（x）+a＜0，求實數k的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設先求出f′（x）=ax²+2bx+c，再由f′（1）=a+2b+c=0，a＜b＜c，推導出判別式△=4b²-4ac≥0，由此利用題設條件，結合根與系數的關系，能夠得到|s-t|的取值范圍．
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，a＜0，得(2x-2) • 

b

a

+x2＞0．設g(

b

a

)=(2x-2) • 

b

a

+x2，由題意，函數y=g(

b

a

)對于0≤

b

a

＜1恒成立．由此能求出k的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax²+2bx+c，
∴f′（1）=a+2b+c=0又a＜b＜c，
得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，
故a＜0，c＞0．
則判別式△=4b²-4ac≥0，
∴方程f′（x）=ax²+2bx+c=0（*）有兩個不等實根，
設為x₁，x₂，又由f′（1）=a+2b+c=0知，x₁=1為方程（*）的一個實根，
又由根與系數的關系得x1+x2=-

2b

a

，x2=-

2b

a

-1＜0＜x1．（3分）
當x＜x₂或x＞x₁時，f′（x）＜0，當x₂＜x＜x₁時，f′（x）＞0，
故函數f（x）的遞增函數區間為[x₂，x₁]，
由題設知[x₂，x₁]=[s，t]，
因此|s-t| = |x1-x2| = 2+

2b

a

，（6分）
由（1）知0≤

b

a

＜1，得|s-t|的取值范圍為[2，4）． （8分）
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，即ax²+2bx+a+c＜0，即ax²+2bx-2b＜0．
因a＜0，得x2+

2b

a

x-

2b

a

＞0，整理得(2x-2) • 

b

a

+x2＞0． （9分）
設g(

b

a

)=(2x-2) • 

b

a

+x2，它可以看作是關于

b

a

的一次函數．
由題意，函數y=g(

b

a

)對于0≤

b

a

＜1恒成立．
故

g(1)≥0 g(0)＞0

，即

x2+2x-2≥0 x2＞0

，得x≤-

3

-1或x≥

3

-1．（11分）
由題意[k，+∞)⊆(-∞，-

3

-1)∪[

3

-1，+∞)，故k≥

3

-1．
因此k的最小值為

3

-1．（13分）．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．