Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為S_n．
（1）求證：數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，a₁=

1

15

，a₁≠a₂，若存在互異正整數(shù)m，n，p滿足：①m+p=2n；②

Sm

+

Sp

=2

Sn

．求集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}的元素個(gè)數(shù)；
（3）設(shè)b_n=aan（a為常數(shù)，a＞0，a≠1，a₁≠a₂），數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．對(duì)于正整數(shù)c，d，e，f，若c＜d＜e＜f，且c+f=d+e，試比較（T_c）^-1+（T_f）^-1與（T_d）^-1+（T_e）^-1的大小．

Answer 1

分析：（1）{a_n}是等差數(shù)列，可以用首項(xiàng)a1和公差d來表示前n項(xiàng)的和為S_n再將其代入

Sn

n

的表達(dá)式，再用相鄰兩項(xiàng)作差的方法，得到相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)，從而證出數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，先設(shè)

Sn

n

=αn+β（其中α、β為常數(shù)），從而S_n=αn²+βn．將此式代入已知式中第二個(gè)等式，通過整理變形得β=0，再結(jié)合結(jié)合首項(xiàng)a₁=

1

15

，得α=

1

15

，故S_n=

1

15

n²．然后利用此表達(dá)式將集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}化簡(jiǎn)為{（x，y）|xy=15，x∈N^*，y∈N^*}，根據(jù)15有4個(gè)正約數(shù)，得到滿足條件的數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)為4個(gè)；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義證出數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，然后證明等比數(shù)列的一個(gè)結(jié)論：當(dāng)n＞m時(shí)，T_n＞T_n-T_n-m=q^n-mT_m．利用這個(gè)結(jié)論，結(jié)合c+f=d+e可以證得（T_c）^-1-（T_d）^-1比（T_e）^-1-（T_f）^-1大，最后通過移項(xiàng)證得（T_c）^-1+（T_f）^-1＞（T_d）^-1+（T_e）^-1．

解答：解：（1）{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則

S n

n

=

na  1+   n(n-1)d 2

n

=a 1+

n-1

2

d，于是

Sn+1

n+1

-

S n

n

=a 1+

n

2

d-(aq+

n-1

2

d)=

d

2

（常數(shù)），
故數(shù)列{

Sn

n

}是a₁為首項(xiàng)，公差為

d

2

的等差數(shù)列．
（2）因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，所{

Sn

n

}是等差數(shù)列，
于是可設(shè)

Sn

n

=αn+β（其中α、β為常數(shù)），從而S_n=αn²+βn．
因?yàn)閙+p=2n，所以由

Sm

+

Sp

=2

Sn

兩邊平方得
S_m+S_p+2

Sm

Sp

=4S_n，即得a(m 2+p 2)+2

Sm

Sp

=4an 2+2βn=a(m+p) 2+2βn，
于是

Sm Sn

=αmp+βn，兩邊平方并整理得β²（m-p）²=0．
因?yàn)閙≠p，所以β=0，從而S_n=αn²，而a₁=

1

15

，所以α=

1

15

．
故S_n=

1

15

n²．所以{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}={（x，y）|(

1

15

xy)  2=1，x∈N^*，y∈N^*}={（x，y）|xy=15，x∈N^*，y∈N^*}．
因?yàn)?5有4個(gè)正約數(shù)，所以數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
即集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}中的元素個(gè)數(shù)為4．
（3）因?yàn)?span id="y8eheoq" class="MathJye">

b n+1

b n

=

aan+1

aan

=a d（常數(shù)），
所以數(shù)列{b_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列．
因?yàn)閍₁≠a₂，所以等比數(shù)列{b_n}的公比q≠1．
（T_c）^-1+（T_f）^-1與（T_d）^-1+（T_e）^-1的大小關(guān)系即（T_c）^-1-（T_d）^-1與（T_e）^-1-（T_f）^-1的大小關(guān)系
注意到當(dāng)n＞m時(shí)，T_n＞T_n-T_n-m=q^n-mT_m．
所以T_d＞q^d-cT_c且T_f＞q^f-eT_e?（T_c）^-1-（T_d）^-1=

T d-T  c

T dTc

＞

T f-T e

T eTf

=（T_e）^-1-（T_f）^-1
移項(xiàng)可得（T_c）^-1+（T_f）^-1＞（T_d）^-1+（T_e）^-1．

點(diǎn)評(píng)：本題題是函數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合，是一道難題．著重考查數(shù)列的函數(shù)性性質(zhì)、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)等知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化構(gòu)造法、放縮法、數(shù)形結(jié)合等思想方法．