Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知二次函數(shù)滿(mǎn)足且.

（Ⅰ）求的解析式.

（Ⅱ）在區(qū)間上, 的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)=x²-x+1；

（Ⅱ）m<-1

【解析】本試題主要是考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的運(yùn)用，以及二次不等式的求解的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知函數(shù)滿(mǎn)足的關(guān)系式得到參數(shù)a,b,c的值，進(jìn)而得到解析式。

（2）由于函數(shù)在給定區(qū)間上，圖像恒在直線(xiàn)的上方，則利用數(shù)形結(jié)合思想可知，實(shí)數(shù)m的范圍。

解： (Ⅰ)設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，

故f（x）=ax²+bx+1. ………………………2分

∵f(x+1)-f(x)=2x,

∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.

即2ax+a+b=2x, ………………………4分

所以,………………………6分

∴f(x)=x²-x+1. ………………………7分

(Ⅱ)由題意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.

設(shè)g(x)= x²-3x+1-m,其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=,………………………9分

所以g(x) 在[-1,1]上遞減.

故只需g(1)>0, 即1²-3×1+1-m>0,  ………………………12分

解得m<-1.      ………………………14分