Question

設函數

(Ⅰ) 當時，求函數的極值；

（Ⅱ）當時，討論函數的單調性.

（Ⅲ）若對任意及任意，恒有 成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 無極大值.

（Ⅱ）當時，在上是減函數；

當時，在和單調遞減，在上單調遞增；

當時，在和單調遞減，在上單調遞增；

（Ⅲ） 

【解析】

試題分析：(Ⅰ)函數的定義域為.  

當時，2分

當時，當時， 無極大值. 4分

（Ⅱ） 

5分

當，即時， 在定義域上是減函數；

當，即時，令得或

令得當，即時，令得或

令得      綜上，當時，在上是減函數；

當時，在和單調遞減，在上單調遞增；

當時，在和單調遞減，在上單調遞增；8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在上單減，是最大值， 是最小值.

  10分

而經整理得，由得，所以12分

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、最值及不等式恒成立問題，不等式的解法。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及不等式恒成立問題，轉化成了研究函數的最值之間的差，從而利用“分離參數法”又轉化成函數的最值問題。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。